Вообще, как мне кажется, вам нужно создать отдельный компонент карточки товара, где вы создаете какой-нибудь метод, например update(), в котором у вас будет происходить запрос на сервер (в качестве параметра вы передаете id товара), получив информацию, записав все нужно в data, карточка у вас обновится. Этот метод вы уже повесите на кнопку обновления информации, например:
<div class="product__update" @click="update">Обновить информацию</div>
В самом приложении будете использовать просто вывод карточек, как-то так (перед этим не забудьте список продуктов получить для начала):
<div v-for="product in products">
<product :id="product.id" :title="product.title" :image="product.image"></product>
</div>
Где products это массив всех товаров, полученных по апи.
То есть вам требуется создать два компонента: ProductList и Product.