а) 1 запрос работает потому что числа/булевы значения не нужно оборачивать в кавычки;
б) 2 запрос не работает, потому что и не должен - у вас проблема с кавычками, да и даже если её поправить движок бд не знает что с чем ему сравнивать при выборке (поэтому когда поправите кавычки - запрос либо выдаст всё, либо вообще не будет работать). В общем случае, и насколько я почитал про синтаксис redbean и помню ваши предыдущие вопросы - R::findAll('posts', 'author_id = ?', [$_SESSION['logged_user']->id]);
в) 3 запрос опять же не будет работать по причине отсутствия кавычек. Строковые данные должны передаваться экранированными (R::findAll('posts', 'head = "zagolovok"');) или через параметр (R::findAll('posts', 'head = ?', ['zagolovok']);)
г) в качестве совета - прежде чем пытаться разобраться с ORM, почитайте и разберитесь всё же лучше для начала с основами SQL и пыха.