Для MySQL версии 5.6, 5.7 можно сделать вот так
CREATE DATABASE test;
use test;
CREATE TABLE t (a varchar(255), b varchar(255));
-- повесим триггер на INSERT
-- триггер будет брать значение из "...." и вставлять его в поле 'b'
CREATE TRIGGER before_insert_test_t
BEFORE INSERT ON test.t
FOR EACH ROW
SET new.b = SUBSTRING_INDEX(SUBSTRING_INDEX(new.a, '"', 2), '"', -1);
INSERT INTO t (a) VALUES('text text "QWERTY" text text');
SELECT * FROM t;
+------------------------------+--------+
| a | b |
+------------------------------+--------+
| text text "QWERTY" text text | QWERTY |
+------------------------------+--------+
в 8 версии MySQL, можно сделать так
CREATE TABLE t
(
a varchar(255),
b varchar(255) default (SUBSTRING_INDEX(SUBSTRING_INDEX(a, '"', 2), '"', -1);)
);
но я это не проверял, 8-й версии у меня нет.