Верстаешь сайт в одном браузере, смотришь как и что в других. Сразу все не сможешь учесть, но при выявлении конкретной проблемы уже будешь фиксить.
Следи за тем, чтобы вендорные префиксы были расставлены. Рекомендую установить autoprefixer в проект, он будет делать это за тебя. Если сомневаешься в какой-то технологии/css-свойстве, можешь на сайте
can i use смотреть как эти технологии поддерживаются в разных браузерах
Можешь еще проверять верстку на
валидность