Тут работает ровно как и везде, нет никаких ajax запросов.
Всё на oauth сделано обычном.
toster -> tmid -> github -> tmid -> toster

Можно частично избежать смены страницы, но тогда будет открываться новая вкладка всё равно с кучей редиректов.
Для это запилить реализацию авторизации с помощью postMessage, точнее общение окна в котором идет авторизация с основным окном первоначальным.
Вот тут есть пример полноценный
https://github.com/cretueusebiu/laravel-nuxt
https://github.com/cretueusebiu/laravel-nuxt/blob/...