Есть некий тригер, который передает данные в файл accepting_hook.php.
Поконкретнее, где и что за триггер? Если это событие на странице index.php, достаточно аякс запроса и обработки ответа от сервера, с последующим внесением изменений в DOM. Если изменения внешние(происходят на сервере и не связанны с действиями текущего клиента) - то как вам и написали - вебсокет или интервал, в случае интервалов (зная что начинающие разработчики обычно на них стараются строить логику, как на наиболее понятной технологии) важно найти хороший интервал, не сильно часто и не слишком редко. Но в идеале попробовать сокеты.