mySwiper.on('slideChangeTransitionStart', function () {
document.getElementsByClassName('slider-item')[mySwiper.realIndex + 1].classList.add('ваш класс')
});
Но вам нужно будет позаботиться, как удалить его (это не сложно), что бы ваш класс был только у одного элемента.
Читайте документацию, там довольно все понятно описано -
idangero.us/swiper/api