Технология localstorage не предусматривает отправку на сервер. Если разработчику нужно передать какие-то данные из localstorage на сервер, то это приходится делать через AJAX, предварительно сформировав необходимый набор данных.
Отвечая на ваш вопрос: никак. На сайте, с которым вы хотите работать, данные из localstorage передаются на сервер через AJAX, каким способом — зависит от реализации, может через header, может через body, соответственно это нужно выяснить и эмулировать такой запрос через curl.