Компоненты должны рисоваться в цикле ( map'ом или forEach'ом ). Данные должны лежать в стейте. При клике на "добавить" - появляется новая запись в state и компонент автоматически дорисовывается.
Реакт не про работу с DOM, реакт про отрисовку интерфейса на основе состояния. Стоит подумать какая структура стейта наиболее соответствует задаче (массив объектов) и на ее основе рисовать форму. В 99 случаях из 100 не нужно никакие компоненты никуда клонировать