1)
можно хранить результат добавления option только для одного пользователя, конкретного браузера - в localStorage. Например сайт заказа еды - адрес доставки одному и тому же пользователю удобно хранить в localStorage, и пользователю не нужно авторизовываться.
Грубо сейчас накатал:
https://jsfiddle.net/xpvt214o/1070/
думаю сами разберетесь дальше. Все основные функции даны.
Если option нужно несколько, то используйте для localStorage - JSON.stringify и JSON.parse
2) можно делать AJAX и хранить в базе данных, а при перезагрузке страницы рендерить уже с нужным списком.