Алексей Королёв, .hide(), .show() без параметров в скобках. данный параметр - скорость анимации появления, + данные методы по умолчанию имеют анимацию от угла.
Можете воспользоваться fadeIn() и fadeOut(), или вовсе использовать метод animate для того, чтобы настроить свою
Используй js, при клике скрывает меню и открывает поиск. Если топорным методом, то вся шапка внутри дива, при клике его скрывает и открывает другой див.