Если мы говорим именно про API, то там делаются обычные http запросы, для доступа в запрос включается токен, ответ приезжает в JSON формате. А чем его делать curlом или другими средствами это не важно.
Если же речь идет о парсинге, то там действительно есть возможность работать как с html так и с json. Например, у любого канала типа
https://www.instagram.com/instagram/, есть JSON версия (неофициальная конечно) которую можно забрать по URL:
https://www.instagram.com/instagram/?__a=1.
JSON ресурс забирать выгоднее потому что:
1. Он имеет меньший размер
2. Его легче распарсить