Вывод первого вопроса -> пишем и отправляем ответ на него с помощью формы -> вывод ответа в чат -> обработка ответа(?) -> вывод след. вопроса и т.д.
Пользователь зашел на сайт -> Вывод первого вопроса
пишем и отправляем ответ на него с помощью формы -> пишем и отправляем ответ на него с помощью формы -> (AJAX)
вывод ответа в чат -> вывод ответа в чат ( ответ на AJAX)
Если хотите асинхрон, то это WebSocket, но реализация на PHP не тривиальна. Потому думайте про PHP как один поток - пользователь что-то спрашивает и получает на это ответ. Потом снова спрашивает итп. В принципе можно даже страницу каждый раз рефрешить, но AJAX кошернее будет.
PS
Чаты на webSocket отлично пишутся на Node.JS, при этом остальная часть сайта может быть и на PHP (а может и не быть).