Причем здесь вообще http протокол(точнее его предстваление в виде набора классов) и сессия.
Сессия и так глобальная и работает сама по себе без вашей помощи.
Классы для сессий работают на основе всё той же глобальной сессии.
PSR-7 требует создания нового экземпляра и сессия создается снова и снова.
В php каждый запрос создаётся всё заново, учите матчасть, сессия для того и сделана чтобы сохранять состояние.
И создание экземпляра класса Session никак не связано с сессией которая работает сама по себе. Пока вы их не свяжете через глобальные переменные $_SESSION или свою реализацию SessionHandler.