При клике на Войти, открывать не только форму, но и див с прозрачным фоном.
Уровни z-index, для примера, у прозрачного дива 9, у самой формы 10, чтобы была выше.
Тогда и при клике на этот див, назовем его к примеру .form__transparent уже закрывать.
При открытии формы вешаем обработчик клика на document.
В обрабочике по target смотрим куда был клик, и если клик был вне нашего элемента - закрываем форму и удаляем обработчик.
