Во-первых, привыкайте к стандартам code style. Имена классов, методов и свойств должны начинаться с заглавной буквы. Кроме того избегайте транслитерации - пусть лучше это будет кривой английский, чем "pritok" и "nStran". А в вашем случае, rivers должно быть просто River (единственное число).
Во-вторых, у LinkedList есть метод AddLast, который добавляет элемент в конец. AddAfter не нужен тут.
В-третьих, использование LinkedList не оправдано в 99.99% случаев. Есть много материала на эту тему в гугле по запросу "List vs LinkedList performance" (можно поискать на русском "Производительность List и LinkedList").
В-четвёртых, советую почитать про оператор using и обработку исключений. Ваше решение упадёт при некорректных данных в файле.
Но это всё лирика. А проблема у вас в том, что вы создаете объект rivers только один раз, а в цикле изменяете его свойства. Получается, что весь ваш список состоит из множества ссылок на один и тот же объект. Если переименуете класс в River, возможно, поймете свою ошибку.