Так вроде все просто:
В PHP сгенерировать строку выборки:
$arr_where = explode(" ", $str_search);
$str_where = "field_name like '%". implode($arr_where, "%' and field_name like '%"). "%'";
Тут, конечно, надо бы учесть экранирование кавычек.
Чтобы в итоге строка выборки выглядела:
$str_select = "Select * from table where ".$str_where;
Select * from table where field_name like "%Александр%" and field_name like "%сергеевич%"