Перевести эту задачу инструментам, которые умеют этим заниматься.
Вариант: "запустить самостоятельно PHP-скриптом и подождать" не сработает, если видео большое.
Нужно:
1) создать очередь файлов, которые нужно обработать (ищите решение RabbitMQ или, по-проще, Redis)
2) определенный скрипт принимает задание от очереди и передает эту задачу скрипту ffmpeg
3) когда обработка завершена - делаем об этом запись в базу данных
4) Если нужно при этом отдать сам файл - все это время пользователь смотрит на анимацию загрузки и с помощью AJAX, например, проверяем время от времени, сконвертировался файл или нет. Ну или если есть желание - используем long-polling (гуглите)
