Во-первых, порт должен быть открыт для внешнего доступа. Это можно сделать в настойках инстанса там где Security Groups.
Во-вторых, браузер может блокировать обращения к нестандартному порту, для обхода этого поставьте nginx в качестве прокси сервера и настройте на прослушку 80-го порта и редиректа на 3000.
В-третьих, у вас обязательно должен быть настроен Elastic IP и вот по нему и нужно обращаться к серверу.
В-четвертых, рекомендую купить домен и направить его на внешний ip - адрес.
P.S. ставить голую ноду, без прокси над ней, несколько не правильно.