У вас не получается из-за того, что вы не знаете где у вас вообще область hover
.menu__item:hover .submenu {display:block;}
Это все, что нужно для того, чтобы при наведении ссылку из подменю, основное не убиралось. Почему? Потому что при наведении на подменю вы все равно в зоне .menu__item, за счет вложенности подменю в эту ссылку.
И никакой JS не нужен:
https://jsfiddle.net/e9xrmydw/3/