ща все будет.
Во-первых, ASP.NET MVC5 = ASP.NET Core
Остается вопрос: 4ка или Core
Ключевая идея Core - кроссплатформенность. Предполагается, что его можно хостить (и разрабатывать) не только на Windows.
Разница в типах служебных файлов (например, где и как хранится список зависимостей или настроек приложения). Но, на чуть более высоком уровне, WebAPI он и есть WebAPI.
Задайте вопросы:
- На каком окружении будет располагаться приложение? - окружение позволит определить нужную вам конфигурацию
- Перспективы развития проекта? - если проект не подразумевает многолетнего развития (написали и просто поддерживаем), то можно обойтись и "традиционным" ASP.NET WebAPI. Если же это будет жить и развиваться много лет, берите Core, чтобы не получилось, что вы работаете с неподдерживаемой технологией (мелкомягкие сейчас будут уделять больше внимания именно ему)