Проблема может скрываться в совершенно непредсказуемом месте.
Проблему с middleware web можно сразу отмести, ибо в 5.3 она автоматически используется во всех web роутах.
Вполне возможно вы отправляете запросы по http протоколу. В случае редиректа на https, разумеется, сессия потеряется, crsf ключ соответственно тоже.
Было бы неплохо взглянуть на ваш проект, потыкав и просмотрев заголовки сервера во время запросов.
Можете скинуть мне в ВК или на почту wielski@bk.ru, с радостью посмотрю и проконсультирую.
upd: Для начала попробуйте сделать по аналогии (файл /app/http/Kernel.php). Если не поможет, пишите.