Алгоритм в даном случае очень простой:
1. Любой плагин\самоделка\бутстрап (если используеться то в нем есть поп-апы) - для всплывающего окна. Туда же ставите инпуты для имени и телефона (для телефона можно использовать плагин на подобии jQuery Input Mask) - само собой необходимо сделать валидацию (регулярками можно попробовать в стиле html5 в теге прописать или на серверной стороне, либо на клиентской.
2. Адаптация наше все - либо самому писать через
media query либо искать готовое решение.
3. Ловим ивент когда нажата кнопка "Отправить" и закрываем окно через js (в бутстраповских окнах есть ивенты закрытия окна). Например:
$('#myModal').on('hidden.bs.modal', function () {
// do something…
})
4. Как настроите обработчик письма - такое письмо получите. Ссылку с которой отправили форму можно взять либо с переменной, когда человек зашел на страницу, либо через php.
5. Можете все это описать функциями и вызывать как и где хотите.