Он всегда проверяет почту. В 9 ios добавили режим сбережения энергии, который отключает эту проверку (и многие другие). Вот только я не уверен на счет сторонних приложений.
Push уведомления работают через свой сервис APNS, описание работы которого можно найти на хабре ну или вообще в гугле. Этот сервис создан для сохранения заряда батарии, чтобы не держать всё приложение рабочим в фоновом режиме.
И, скорее всего, телефон с этим сервисом держит постоянную связь. И даже если отключить некоторые уведомления, вы не сильно сократите используемый трафик.
