Внимание к деталям отличает хорошего программиста от калокодера. Это касается всего, в том числе дебага, сообщений системы, а так же нормальных именований переменных.
еще раз внимательно и по буквам читаем дебаг:
[default] => Array ( [session_name] => 123 )
смотрим что сначала писали вообще $key = $_SESSION['name'] (явно факап по невнимательности), а затем тянем $_SESSION['session_name'], хотя дебаг как бы намекает что все ложит в дефолтный массив $_SESSION['default'], шоб не путать с ручным добавлением если таковое случится.