Слона нужно есть по кусочкам - декомпозируйте свою задачу.
Для начала поймите, что работа с любым API - это самые обычные HTTP-запросы. Следовательно, вам нужно научиться делать такие запросы на том стеке технологий, который вы используете.
Дополнительно нужно иметь понимание о том, что вообще такое HTTP-запрос, как его отлаживать, из чего он состоит.
Следующим вопросом, который перед вами, скорее всего, возникнет, будет авторизация на сервере с API. Подходов здесь не так уж много, они стандартные. Может оказаться, что авторизация вовсе не требуется и API открытое. Информацию об используемом способе авторизации можно найти в документации к API.
Ну и наконец непосредственное использование API: на этом этапе вы уже понимаете, что такое HTTP-запрос, умеете их отправлять и получать, нашли документацию, прочитали её и определили, что именно хотите получить. Дело за малым - обработать ответ сервера. Как конкретно это делать, опять же, зависит от формата ответа сервера. Это может быть JSON, XML, HTML, просто текст или что-то более экзотичное. Для всех популярных платформ есть библиотеки для работы с этими форматами.
