Всё просто. В методе Input вы объявляете переменные х, у, которые перекрывают соответствующие переменные класса. Вводите локальные, а х, у, принадлежащие классу, остаются нулями.
Пара замечаний:
вместо Input лучше переопределить friend isream& operator>>(istream& input, Points& point), в котопом вводить x, y
Вместо .operator== лучше писать а==b, вы его для этого создаёте, по идее.