Ты же вызываешь в последнем цепном методе (".val()") получение атрибута value,
и он тебе соответственно и возвращает значение value в последнем найденном элементе.
var count_adverts = [];
$('[name="save_changes"]').click(function()
{
$('.menu').find('li').each(function(index, element){count_adverts.push($(element).val())});
})
console.log(count_adverts);
Для сохранения ключей массива:
var count_adverts = {};
$('[name="save_changes"]').click(function()
{
$('.menu').find('li').each(function(index, element){count_adverts[$(element).attr('name')] = $(element).val()});
})
console.log(count_adverts);