Валидировать форму только на клиенте - плохая идея.
Поэтому нужен скрипт, который будет заниматься валидацией на сервере, и, если данные верны - отправлять на почту.
В php для этого есть функция
mail()
Однако, её работа зависит от того, как настроена отправка почты на сервере.