Конкретно в вашем коде ошибка, это третий аргумент функции
array_slice(). Третий аргумент, это не конечный оффсет, а количество элементов считая от значения второго аргумента.
То есть, поменяйте на что-то такое:
$rea = array_slice($new_arr, $x, $_REQUEST['count']);
Но я бы предпочел не гонять впустую
for. Добавить фильтрацию и санитацию входных параметров.
$new_arr = range(1, 200);
$page = (int)$_GET['page'] - 1;//logically we have page 0, but UI will show page 1
$count = (int)$_GET['count'];
$count = ($count > 0 && $count<=50)$count?50;
$startElementIndex = $page * $count;
$rea = array_slice($new_arr, $startElementIndex, $count);
var_dump($rea);