Параметры запроса не являются частью роута, так что роут тут будет просто search, а уже в самом контроллере можно будет вызвать $req->q (или $req->input('q')), чтобы достать нужные данные. Так как и ответ на форму, и вывод этой формы идут через GET-запрос, то в любом случае придется оба случая обрабатывать одним методом контроллера.
Откуда вы взяли такую глупость? Поиск как раз часто реализуется именно в виде get запроса потому, что такую ссылку можно сохранить, отправить пользователю или скормить поисковику. В качестве примера вам как раз яндекс с гуглем, блоги и тысячи интернет-магазинов с фильтрами товаров.