Это же целый бэкэнд писать :)
Я уверен, вы справитесь сами, Вам просто нужно погуглить про функцию mail(), скопировать ее и передать в нее значения из post запросов.
Нет, все данные просто уйдут на почту, тут бд не нужна. Если вы хотите хранить все письма в бд, тогда нужно и нужно дописать функции сохранения этих данных в бд, создания подключения и т.п.