На самом устройстве такая возможность, вроде как, отсутствует.
При помощи LogCat можно фильтровать вывод браузера, но только с версии 4.0.3. Вот тут более подробно расписал добрый человек.
В приложении надо поставить WebView.setWebContentsDebuggingEnabled(true);
Работает с Android 5.0, консоль откроется только в Chrome, после проставления в нём галочки "Discover USB devices" в chrome://inspect.