Что бы было по центру мобильное меню надо для
@media screen and (max-width: 593px)
добавить
ul.navication-menu li a:hover,
ul.navication-menu li a{
width:100%;
}
чтобы пропадало меню при уменьшении размера стилей мало.. так как вы делаете из js для меню show, то у меню в стилях (в хтмл коде элемента) прописывается display:block, и приоритет этого правила выше, чем правило css в медиа-запросах, поэтому правило не имеет эффекта. Для решения этой проблемы, надо изменить подход к его отображению.. например делать не напрямую ему show, а добавлять класс opened например, для которого при одном расширении будет стоять display:block, а при другом display:none;
Обновил
Ваш пример