На домене 1 лежит данная форма
При отправке форма редиректит на домен 2 и отдает ответ success
Как при отправке формы оставаться на домене 1?
Условие - домен 2 не наш, там мы ничего поменять не можем, скачать скрипт на свой хост тоже невозможно.
Вам ответ на второго сервера обязательно получать?
если нет, то используйте у формы атрибут target="ИМЯ_ФРЕЙМА", на страницу добавьте скрытый фрейм, пустой, без src, но с name, которое потом укажете у формы.
Если Вам важен ответ от дочернего сайта, то тут вариант только, проксирование через свой сервер,
т.е вы AJAX отправляете на свой сервер, а уже с него через curl отправляете на второй, получаете ответ и возвращаете его обратно на свою страницу.
Попробуйте воспользоваться jQuery Form. Я его использовал для того, что бы загружать файлы без перезагрузки страницы, но может и вашем случае поможет. Хотя вы можете столкнуться с проблемами с CORS.