Парсер просто последовательно читает текстовой файл, он ничего не знает о выполнении кода, но знает синтаксические правила языка. Если речь про интепретатор, то он выполняет код последовательно, но в нем есть команды перехода к различным участкам кода, от простейших условных и безусловных до функций и объектов с методами.
Поддержки асинхронности из коробки в php нет, но есть специальные библиотеки для этого, например ReactPHP. Если же говорить про чистый php, то в нем есть несколько асинхронных функций (например multi_curl), но правильнее сказать, что они неблокирующие, а асинхронность придется воплощать вручную, периодически передовая управление этим функциям.