Вопрос можно решить как-то так.
1. В игрухе создаёте кнопку входа, открывающую страницу входа вашего сайта.
2. В Google Cloud Console создаёте проект и настраиваете для работы с API Google Sign-In.
3. Да, вам нужен сайт. Можно вообще склепать одностраничку с авторизацией гугл.
4. После успешной авторизации гугл должен вернуть токен доступа, который шлётся на ваш сервак и там крутится в бд для идентификации/регистрации юзера (например Firebase).
5. Обратно с сервака через тот же вебсокет отправляете в приложение запрос.
Если влом с сайтом париться, можете попробовать Firebase Auth. Вот неплохой пример
https://youtu.be/7D8Z9_tNrC8