Чтобы получить имя пользователя, который использовал modal menu, вам нужно использовать атрибут user в объекте interaction. Вот так можно выводить имя пользователя:
#Извлекаем имя пользователя
username = interaction.user.name
# Создаем embed и выводим данные пользователя
embed = discord.Embed(title="Набор на эвентера")
embed.add_field(name="Имя пользователя", value=username, inline=False)
embed.add_field(name="Сколько вам лет", value=self.children[0].value, inline=False)
embed.add_field(name="Почему мы должны взять именно вас?", value=self.children[1].value, inline=False)
embed.add_field(name="Был ли у вас опыт в модерации?", value=self.children[2].value, inline=False)
embed.add_field(name="Откуда вы?", value=self.children[3].value, inline=False)
embed.add_field(name="Расскажите о себе", value=self.children[4].value, inline=False)
embed.set_footer(text=f"Заявку оставил: {username}")
Здесь мы используем метод name, чтобы получить имя пользователя из объекта user, и затем добавляем его в footer нашего Embed.