Проблема в том, что вы записываете значения с сессию с ключом
texexperto, а пытаетесь вытащить с
texex.
Ничего с ключом
texex не найдено и по этому возвращается null.
<form style="position:relative" target="area" method="POST">
<input id="texexpert" name="texe"class="header-search-input" autocomplete="off" placeholder="Искать" value="" >
<input id="button" class="texex" type="submit" title="Нажмите,чтобы найти">
</form
<script>
$('.texex').on('click', function(e){
e.preventDefault();
const texex = document.querySelector("input[name='texe']").value;
sessionStorage.setItem('texexperto', texex);
const texoton = sessionStorage.getItem('texexperto');
console.log(texoton);
});
</script>