Если вам просто нужно ровно двигать, воспользуйтесь инструментом Move Tool в связке с зажатым
Ctrl. Свойства такого движения можно посмотреть и поправить в Edit » Grid and Snap Settings.
По поводу самого тайлмапа, схема там такая:
1) Родительский объект с компонентой Grid.
2) Дочерние объекты с компонентами Tilemap + Tilemap Renderer, дальнейшая работа будет происходить внутри именно этих объектов (по иерархии).
3) Во вкладке Window » 2D » Tile Palette нужно создать палитру и перетягивать на сцену спрайты оттуда (также попробуйте возможность делать это не поштучно, путём их массового выделения), а не из вкладки Project.
Если вы всё так и делали, проверьте настройки. При создании палитры вы могли незнаючи что-то тут поменять.
Если проблема останется, напишите в комментарии