1. При нажатии на кнопку Отправить, делаем валидацию полей.
2. Если валидация прошла успешно, скрываем форму и переходим к следующему шагу.
3. Показываем popup окно с уведомлением или добавляем активный класс скрытому блоку с уведомлением.
4. Profit.
Вообще обычно используется вызов popup окна для подобных уведомлений, так как оно лучше привлекает внимание пользователя и сообщает что то или иное действие прошло, например, успешно.