Все use "абсолютные".
use chat\chat;
нужно только в composer json указать корневую папку для этого пространства имен и пересобрать автозагрузчик.
у вас, как я понимаю, это два отдельных проекта.
В этом случае оптимально будет вынести chat в отдельный пакет и установить его в обоих проектах через композер.
То что вы хотите сделать выглядит ужасной фигнёй.
Но хз, можете попробовать указать путь в конфиге, типа такого
'chat\\chat\\' : '../bot.site.com/'
Однако мне такие извращения в голову никогда не приходили, не знаю, будет ли работать.
Если chat.php не имеет других зависимостей, можно тупо зареквайрить его.
