mute работает как правило по принципу "писать можно, но ни кто не увидит".
/mute @username - в список заносится юзер
Бот, когда видит, что кто-то написал сообщение, смотрит, не находится ли юзер в этом списке. Если находится - удаляет его сообщение. Всё.
Естественно у бота должны быть права админа в чате