sessionStorage.setItem('user', {level: '1'})
console.log(Object.keys(sessionStorage.getItem('user'))
(15) ['0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9', '10', '11', '12', '13', '14']
storage
умеет хранить только строки текста. Поэтому - sessionStorage.setItem('user', {level: '1'})
+ sessionStorage.setItem('user', JSON.stringify({level: '1'}));
и- console.log(Object.keys(sessionStorage.getItem('user'))
+ console.log(Object.keys(JSON.parse(sessionStorage.getItem('user')))