После добавления всех данных в строку делаете сохранение этих данных в БД и далее получаете данные таблицы с добавленной информацией.
Обработка нажатия кнопки:
int index = dataGridView.CurrentCell.RowIndex;
string pib = dataGridView["PIB" , index].Value.ToString();
string address = dataGridView["_Address" , index].Value.ToString();
string phoneNumber = dataGridView["PhoneNumber" , index].Value.ToString();
далее эти данные пишем в БД, после запрашиваем таблицу с данными.
var dt = select данные из БД;
dataGridView.DataSource = dt ;