setTimeout возвращает id таймера. Таким образом, использовав его в шаблоне, Вы сразу получите true-like value. И класс навесится.
Сделайте появление класса в зависимости от значения свойства в data, по умолчанию свойство false, а в mounted сделайте setTimout, в котором поменяете это свойство на true - класс обновится.
Пример из документации:
Работа с классами и стилями