Так же, как и внутрь любого другого, просто через точку — два знака доллара в названии параметра вас не должны смущать.
var deferred = $q.defer(); // допустим, вы получаете промис из $q (а может быть из $http или $resource, я не знаю)
console.log(deferred.promise); // возвратит объект, и там будет ваш $$state
console.log(deferred.promise.$$state); // возвратит то, что внутри $$state
console.log(deferred.promise.$$state.status); // возвратит status
Как уже подметили комментаторы, если вы хотите это сделать, то вы делаете что-то не так, явно.
