Создаешь блок для всего этого к примеру .SlickNavBlock
Дальше пишешь эти опции
// в них добавляешь что то типо того
appendDots: $(this).closest('.slider').find('.SlickNavBlock'),
appendArrows: $(this).closest('.slider').find('.SlickNavBlock'),
Дальше пишешь эти опции
prevArrow: '<span class="slick-arrow_custom-left"></span>',
nextArrow: '<span class="slick-arrow_custom-rigth"></span>',
dotsClass: 'slick-custom-dots',
И все, дальше дело за CSS.