Что такое синус и косинус? У нас есть отрезок (0, 0) — (1, 0). Повернём его вокруг первого конца, и координаты второго конца — это cos и sin.
А теперь нарисуем на плоскости вторую систему координат: у неё ось x' смотрит вниз, а ось y' вправо. Эти две системы координат совпадают началом координат, масштабом (т.е единица в одной будет единицей в другой) и ориентацией (ось y против часовой стрелки от оси x).
У нас есть отрезок (0,0) — (x, y) длины 1. В системе (x, y) это единичный, повёрнутый на угол α, в системе (x', y') — на угол β=90°+α.
Поскольку x = y' (мы так нарисовали вторую сетку), то cos α = x = y' = sin β = sin(90° + α).
P.S. Я попробовал доказать всё это относительно строго, не ссылаясь ни на графики, ни на более сложные утверждения вроде синуса суммы.
