Должен быть включен форвардинг:
sysctl -w net.ipv4.ip_forward=1

И настроен NAT. В базовом виде надо добавить в конфиг wg0.conf, заменив interface_name на имя сетевого интерфейса, который в интернет смотрит:

[Interface]
PostUp = iptables -A FORWARD -i %i -j ACCEPT; iptables -A FORWARD -o %i -j ACCEPT; iptables -t nat -A POSTROUTING -o <interface_name> -j MASQUERADE
PostDown = iptables -D FORWARD -i %i -j ACCEPT; iptables -D FORWARD -o %i -j ACCEPT; iptables -t nat -D POSTROUTING -o <interface_name> -j MASQUERADE

Возможно, в клиентский конфиг придется в явном виде добавить ДНС, например:

[Interface]
DNS = 1.1.1.1